前一篇文章里，我们已经把体积渲染里最核心的理论部分过了一遍：从吸收、外散射、内散射和发光 这四种基本行为出发，一步步拼出了辐射传输方程 的基本形式。到了这里，我们总算算是手握理解 BSSRDF 的钥匙，也是时候来揭开它的神秘面纱了。
BSSRDF，全称 Bidirectional Surface Scattering Reflectance Distribution Function ，通常可以翻译为双向表面散射反射分布函数 。和 BSDF 相比，它关心的问题要更复杂一些。BSDF 主要描述的是光线在物体表面发生的反射和折射，而 BSSRDF 则进一步考虑了：光线进入物体表面之后，是否会在内部传播一段距离，再从另一个位置重新射出。
当然，并不是所有材质都会出现这种现象。对于金属、塑料这类主要发生表面反射的材质，BSDF 往往就已经够用了。但对于像皮肤、蜡、牛奶、果冻、大理石 这类具有明显次表面散射 特征的半透明材质，单纯依靠 BSDF 往往很难准确表现它们那种柔和、通透、带有“内部发光感”的外观。而这，正是 BSSRDF 要解决的问题。
一般来说，一个完整的 BSSRDF 往往会被拆成两部分来处理：单次散射 和多次散射 。前者描述的是光进入物体后，经过较少次数散射就离开表面的那部分贡献；后者则对应光在内部经历多次散射后形成的更加平滑、柔和的扩散效果。很多经典模型都会采用类似的拆分思路：先用一个项去抓住主要的能量分布，再用另一个更平滑的项去近似更复杂的传播过程。但是这种精确的拆分往往会伴随着巨大的计算量，因此更多情况下，我们会将单次散射和多次散射整合在一起 ，用一个统一的公式表达。
从理论上说，BSSRDF 的推导是建立在辐射传输方程之上的。经典论文 A practical model for subsurface light transport 对这套推导过程做了非常详细的说明。这篇论文我其实很早就看过一次，当时的感受基本只有一个：完全看不懂。现在回头再看至少已经能稍微看懂一点了（骗你的，其实还是看不懂）。
不过，我们并不打算一头扎进那些冗长而复杂的推导细节里。我们的重点会放在 BSSRDF 最终是怎样被表达出来的，它到底在描述什么，以及这些公式在直觉上该怎么理解 。毕竟，很多时候最有意思的地方恰恰在于：在一整套复杂理论的背后，最后得到的结果反而可以写得相当简洁。尤其对于各向同性介质 ，很多模型甚至还能借助预计算，把 BSSRDF 进一步整理成一种更容易使用的形式，并在渲染中高效应用。
和前两篇文章一样，本文依然会以理论 为主，不会涉及具体的代码实现。
BSSDF的基础理论
在 BRDF 里，我们关心的是：光线打到表面上的某一个点之后，会怎样从这个点反射或折射出去。因此，计算时通常只需要对这个点上的入射半球方向 做积分就够了。
但到了 BSSRDF ，事情就不一样了。因为次表面散射描述的，不再只是“光从哪里来、又从同一个点往哪里走”，而是还要考虑这样一种情况：光线从表面的某个位置进入物体，在内部传播和散射之后，最后从另一个位置重新射出。
这意味着，除了要对入射方向做积分之外，我们还必须进一步把所有可能的入射位置 也一起考虑进去。换句话说，在 BSSRDF 中，我们不仅要做方向积分 ，还要再做一次面积分 ：
L ( x o , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) (1) L(\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) = \int_A \int_{2\pi} S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)\, L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i)\, (\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i)\, \mathrm d \boldsymbol \omega_i\, \mathrm d A(\mathbf x_i) \tag{1}
L ( x o , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) ( 1 )
这里的
S ( x i , ω i ; x o , ω o ) S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)
S ( x i , ω i ; x o , ω o )
就是 BSSRDF 本身。它描述的是：光线以方向 ω i \boldsymbol \omega_i ω i x i \mathbf x_i x i x o \mathbf x_o x o ω o \boldsymbol \omega_o ω o
论文A practical model for subsurface light transport 给出了S ( x i , ω i ; x o , ω o ) S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) S ( x i , ω i ; x o , ω o ) BSSRDF 拆成了两部分：多次散射项 和 单次散射项 。
具体来说，可以写成：
S ( x i , ω i ; x o , ω o ) = S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) + S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) (2) S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) = S_d(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) + S^{(1)}(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) \tag{2}
S ( x i , ω i ; x o , ω o ) = S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) + S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) ( 2 )
其中，
S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) S_d(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)
S d ( x i , ω i ; x o , ω o )
表示的是多次散射项 。它描述的是：光进入物体之后，并不是只在内部“弹”一次就出来了，而是会在介质内部经历多次散射，最后才从表面重新离开。换句话说，这一项统计的是除了第一次散射之外，其余所有散射共同形成的累积效果 。也正因为散射次数很多，这一部分通常会表现得更加平滑、柔和，看起来很像一种“在内部扩散开来”的感觉。
另一部分则是单次散射项 ：
S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) S^{(1)}(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)
S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o )
顾名思义，它描述的是光线进入物体之后，只经历一次散射 就重新离开表面的那部分分布。和多次散射相比，单次散射通常保留了更多“方向性”，因此在一些材质上会带来更清晰、更锐利的视觉特征。
多次散射项
那么，公式（2）中的两部分在数学上到底是怎么写出来的呢？先从较为简单的多次散射项入手：
S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) = 1 π F t ( η , ω i ) R d ( r ) F t ( 1 η , ω o ) S_d(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) = \frac{1}{\pi}F_t(\eta,\boldsymbol \omega_i)R_d(r)F_t(\frac{1}{\eta},\boldsymbol \omega_o)
S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) = π 1 F t ( η , ω i ) R d ( r ) F t ( η 1 , ω o )
其中，
r = ∥ x o − x i ∥ r = \left\|\mathbf x_o - \mathbf x_i\right\|
r = ∥ x o − x i ∥
表示入射点和出射点在表面上的距离。这里通常默认物体表面可以近似看成一张无限大的平面 。
而在这个式子里，最核心的部分其实是
R d ( r ) R_d(r)
R d ( r )
在论文中被称为Diffusion BSDF ，它描述的是：当一部分光进入介质内部之后，这部分能量会怎样在内部扩散，并最终在距离入射点 r r r 你可以想象介质内部有一个虚拟光源，它把进入内部的能量重新分配到周围的各个位置上，而且离得越远，分到的能量通常就越少。
这里之所以说它是“虚拟光源”，是因为它当然不是真正存在的光源，而只是一个帮助我们理解和建模的数学等效。那这部分能量到底是从哪里来的呢？答案其实很直接：它本质上还是来自外部的入射光。
这也解释了为什么公式两边会各出现一个菲涅尔项。它们的作用不是去描述反射掉了多少能量，而是描述：有多少光能够真正穿过边界进入介质，以及最后又有多少光能够从介质内部穿出来。
F t = 1 − F F_t = 1 - F
F t = 1 − F
也就是说，菲涅尔反射项 F F F F t F_t F t
这样一来，整个公式的物理图像就很清楚了。
首先，一束入射光打到表面上，经过第一个透射菲涅尔项的修正，只有其中一部分能量真正进入了介质内部；接着，这部分能量会按照 R d ( r ) R_d(r) R d ( r ) r r r
从这个角度看，多次散射项的结构其实非常优雅：进来一次、内部扩散一次、出去一次。 R d ( r ) R_d(r) R d ( r )
另外，理论上对 R d ( r ) R_d(r) R d ( r ) 1 1 1 多次散射 ，并没有把单次散射 算进去；另一方面，光在介质内部传播时，还会有一部分能量被吸收掉，所以最终能够重新回到表面的能量本来就不可能完整保留。
至于 R d ( r ) R_d(r) R d ( r ) 更简洁、更实用的近似模型 。这也是这篇文章后半部分的内容。
单次散射项
相比多次散射项，单次散射项 的公式会稍微复杂一些。不过，只要对前面介绍过的辐射传输方程已经有了一点感觉，这个式子其实并没有看起来那么难懂。它本质上描述的，仍然是一个非常直观的过程：光线进入物体内部，在某个位置发生一次散射，然后从表面离开。
先直接把公式写出来：
L o ( 1 ) ( x 0 , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = σ s ( x o ) ∫ 2 π F ⋅ p ( ω i ′ , ω o ′ ) ∫ o ∞ e − σ t c s d s d ω i \begin{align*}
L_o^{(1)}(\mathbf x_0, \boldsymbol \omega_o)
&= \int_A \int_{2\pi} S^{(1)}(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)\, L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i)\, (\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i)\, \mathrm d \boldsymbol \omega_i\, \mathrm d A(\mathbf x_i) \\
&= \sigma_s(\mathbf x_o)\int_{2\pi}F \cdot p(\boldsymbol \omega_i',\boldsymbol \omega_o')\int_o^{\infty}e^{-\sigma_{tc}s}\mathrm d s \,\mathrm d \boldsymbol \omega_i
\end{align*} L o ( 1 ) ( x 0 , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = σ s ( x o ) ∫ 2 π F ⋅ p ( ω i ′ , ω o ′ ) ∫ o ∞ e − σ t c s d s d ω i
其中，
F = F t ( η , ω i ) F t ( 1 η , ω o ) F = F_t(\eta,\boldsymbol \omega_i)F_t(\frac{1}{\eta},\boldsymbol \omega_o)
F = F t ( η , ω i ) F t ( η 1 , ω o )
表示入射和出射两次穿过边界时的透射修正；p ( ω i ′ , ω o ′ ) p(\boldsymbol \omega_i',\boldsymbol \omega_o') p ( ω i ′ , ω o ′ )
∫ 0 ∞ e − σ t c s d s \int_0^{\infty}e^{-\sigma_{tc}s}\,\mathrm d s
∫ 0 ∞ e − σ t c s d s
则对应我们前面在前篇文章中介绍过的 Beer–Lambert Law ，用来描述光线在介质中传播时，能量如何随着路径长度按指数 形式衰减。
论文里也给出了这条公式的示意图。之所以单次散射项看起来会比多次散射更“绕”一些，是因为它要求我们去考虑所有可能的单次散射路径 ：光线先从入射点进入介质，在内部某个位置发生一次散射，然后再从出射点离开表面。
由于这个散射点可以落在路径上的任意位置，我们就需要对所有可能的路径长度进行积分，因此这里的积分范围自然是
[ 0 , ∞ ) [0,\infty)
[ 0 , ∞ )
不过要注意，这里的 s s s 散射点到出射点 这一段路径上的参数。为了把整个传播过程——也就是“入射点 → \rightarrow → → \rightarrow → 修正后的消光系数 σ t c \sigma_{tc} σ t c
借助一点简单的几何关系，可以得到它的表达式：
σ t c = ( 1 + G ) σ t \sigma_{tc} = (1+G)\sigma_t
σ t c = ( 1 + G ) σ t
其中，
G = ∣ n ⋅ ω o ′ n ⋅ ω i ′ ∣ G=\left|\frac{\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_o'}{\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i'}\right|
G = n ⋅ ω i ′ n ⋅ ω o ′
这个量可以理解成一个路径比例修正项。直观来说，它反映了入射段路径和出射段路径之间的相对长度关系，因此能够把原本只沿单段路径定义的衰减，转换成对整条单次散射路径都成立的形式。当然，这种映射假设了介质内部的消光系数处处相等。
这么看下来，单次散射项虽然公式更长，但物理图像其实很清楚：光先穿过表面进入介质，在内部传播的过程中不断衰减；接着在某个点发生一次散射；最后再继续衰减，并从表面射出。
如果你是第一次接触 BSSRDF，那么看到这里对一些概念感到陌生其实很正常。像消光系数 、Beer–Lambert Law 、相位函数 这些东西，本来就是从体积渲染和辐射传输方程一路延伸过来的。要是你对这部分理论暂时没那么感兴趣，直接先跳过这部分也完全没问题，毕竟在很多实际实现里，大家往往也不会直接使用这种最原始的表达形式。
BSSDF的完整数学表达
有了单次散射 和多次散射 的表达之后，我们终于可以把 BSSDF 的完整形式写出来了：
L o ( x 0 , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = ∫ A ∫ 2 π ( S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) + S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o ) ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = ∫ A ∫ 2 π 1 π F t ( η , ω i ) R d ( r ) F t ( 1 η , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) + σ s ( x o ) ∫ 2 π F ⋅ p ( ω i ′ , ω o ′ ) ∫ o ∞ e − σ t c s d s d ω i \begin{align*}
L_o(\mathbf x_0, \boldsymbol \omega_o)
&= \int_A \int_{2\pi} S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)\, L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i)\, (\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i)\, \mathrm d \boldsymbol \omega_i\, \mathrm d A(\mathbf x_i) \\
&= \int_A \int_{2\pi} (S_d(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o)+S^{(1)}(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o))\, L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i)\, (\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i)\, \mathrm d \boldsymbol \omega_i\, \mathrm d A(\mathbf x_i) \\
&= \int_A \int_{2\pi} \frac{1}{\pi}F_t(\eta,\boldsymbol \omega_i)R_d(r)F_t(\frac{1}{\eta},\boldsymbol \omega_o)\, L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i)\, (\mathbf n \cdot \boldsymbol \omega_i)\, \mathrm d \boldsymbol \omega_i\, \mathrm d A(\mathbf x_i) \\
&+\sigma_s(\mathbf x_o)\int_{2\pi}F \cdot p(\boldsymbol \omega_i',\boldsymbol \omega_o')\int_o^{\infty}e^{-\sigma_{tc}s}\mathrm d s \,\mathrm d \boldsymbol \omega_i
\end{align*} L o ( x 0 , ω o ) = ∫ A ∫ 2 π S ( x i , ω i ; x o , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = ∫ A ∫ 2 π ( S d ( x i , ω i ; x o , ω o ) + S ( 1 ) ( x i , ω i ; x o , ω o )) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) = ∫ A ∫ 2 π π 1 F t ( η , ω i ) R d ( r ) F t ( η 1 , ω o ) L ( x i , ω i ) ( n ⋅ ω i ) d ω i d A ( x i ) + σ s ( x o ) ∫ 2 π F ⋅ p ( ω i ′ , ω o ′ ) ∫ o ∞ e − σ t c s d s d ω i
看着实在是太复杂了哈哈，不过别担心，后面的形式会变得更加简单些（心虚）。
BSSDF的BRDF近似
论文 A practical model for subsurface light transport 还给出了一个非常实用的 BSSDF 的 BRDF 近似 。x i \mathbf x_i x i x o \mathbf x_o x o 预计算 掉，这样在真正渲染的时候，就不需要再显式处理整块表面的空间积分了。
为了做到这一点，需要先做一个常见假设：入射光在表面上是均匀的 ，也就是
L ( x i , ω i ) = L ( ω i ) L(\mathbf x_i,\boldsymbol \omega_i) = L(\boldsymbol \omega_i)
L ( x i , ω i ) = L ( ω i )
在这个假设下，和空间位置有关的那部分扩散分布就可以提前积掉。对 R d ( r ) R_d(r) R d ( r ) Diffuse Reflectance 或类似名称。这里为了方便，我们记作 A A A
A = 2 π ∫ 0 ∞ R d ( r ) r d r = α ′ 2 ( 1 + e − 4 3 K 3 ( 1 − α ′ ) ) e − 3 ( 1 − α ′ ) . (3) \begin{align*}A
&=2\pi\int_0^\infty R_d(r)\,r\,\mathrm dr \\
&= \frac{\alpha^{\prime}}{2} \left(1+e^{-\frac{4}{3}K\sqrt{3(1-\alpha^{\prime})}}\right) e^{-\sqrt{3(1-\alpha^{\prime})}}.
\end{align*} \tag{3} A = 2 π ∫ 0 ∞ R d ( r ) r d r = 2 α ′ ( 1 + e − 3 4 K 3 ( 1 − α ′ ) ) e − 3 ( 1 − α ′ ) . ( 3 )
这里的 α ′ \alpha' α ′ Reduced Albedo ，定义为：
α ′ = σ s ′ σ t ′ \alpha' = \frac{\sigma_s'}{\sigma_t'}
α ′ = σ t ′ σ s ′
其中，σ s ′ \sigma_s' σ s ′ σ t ′ \sigma_t' σ t ′ 约化散射系数 和约化消光系数 。它们通常写成：
σ s ′ = σ s ( 1 − g ) , σ t ′ = σ a + σ s ′ \sigma_s' = \sigma_s(1-g), \qquad \sigma_t' = \sigma_a + \sigma_s'
σ s ′ = σ s ( 1 − g ) , σ t ′ = σ a + σ s ′
这里的 g g g 不对称因子 （Asymmetry Parameter），用来描述散射更偏向前向还是后向。它的取值一般在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] g g g
有了这个预积分结果之后，我们就可以把 BSSDF 写成一个更加紧凑、也更方便在渲染中直接使用的 BRDF 近似形式：
f r ( x , ω i , ω o ) = f r ( 1 ) ( x , ω i , ω o ) + F A π f_r(\mathbf x,\boldsymbol \omega_i,\boldsymbol \omega_o) = f_r^{(1)}(\mathbf x,\boldsymbol \omega_i,\boldsymbol \omega_o) + F\frac{A}{\pi}
f r ( x , ω i , ω o ) = f r ( 1 ) ( x , ω i , ω o ) + F π A
其中，第一项对应的是单次散射项 ：
f r ( 1 ) ( x , ω i , ω o ) = α F p ( ω i ′ , ω o ′ ) ∣ n ⋅ ω i ′ ∣ + ∣ n ⋅ ω o ′ ∣ f_r^{(1)}(\mathbf x,\boldsymbol \omega_i,\boldsymbol \omega_o) = \alpha F \frac{p(\boldsymbol \omega_i',\boldsymbol \omega_o')} {\left|\mathbf n\cdot \boldsymbol \omega_i'\right|+\left|\mathbf n\cdot \boldsymbol \omega_o'\right|}
f r ( 1 ) ( x , ω i , ω o ) = α F ∣ n ⋅ ω i ′ ∣ + ∣ n ⋅ ω o ′ ∣ p ( ω i ′ , ω o ′ )
这里
α = σ s σ t , F = F t ( η , ω i ) F t ( 1 η , ω o ) \alpha = \frac{\sigma_s}{\sigma_t}, \qquad F = F_t(\eta,\boldsymbol \omega_i)\,F_t\!\left(\frac{1}{\eta},\boldsymbol \omega_o\right)
α = σ t σ s , F = F t ( η , ω i ) F t ( η 1 , ω o )
这样一来，整个式子的结构就非常清楚了：单次散射 贡献，另一部分则用一个更平滑的扩散项 来近似多次散射。原本那个看起来相当庞杂的 BSSDF，经过这些近似和预计算之后，就被压缩成了一个更像 BRDF 的形式，使用起来也方便了很多。
没搞错的话，Disney BRDF 就用到了这里的近似公式模拟次表面散射，不确定，后面再看看。
Normalized Diffusion：更易于实现的经验模型
前面的理论基础已经介绍得差不多了，但如果直接拿上一节那些公式来实现，其实并不算友好。问题的核心在于：其中的 R d ( r ) R_d(r) R d ( r ) 它很适合用来理解理论，却不算特别适合直接拿来做工程实现。
所以，我们接下来需要一个更容易使用、也更方便调参 的近似模型，来进一步简化 BSSRDF。这就是 Pixar 在 2015 年提出的一种经验模型：Normalized Diffusion 。
前面我们把散射拆成了单次散射 和多次散射 两部分。这样的拆分在理论上当然很清楚，也很精确，但一旦真正落到计算和实现上，处理起来难免会有些麻烦。于是，一个很自然的想法就是：能不能用一个更统一的形式，把这两部分一起近似掉？
BSSDF 的简化形式如下：
S ( x i , ω i ; x o , ω o ) = C ⋅ F t ( η , ω i ) R ( r ) F t ( 1 η , ω o ) S(\mathbf x_i, \boldsymbol \omega_i;\mathbf x_o, \boldsymbol \omega_o) = C\cdot F_t(\eta,\boldsymbol \omega_i)\,R(r)\,F_t\!\left(\frac{1}{\eta},\boldsymbol \omega_o\right)
S ( x i , ω i ; x o , ω o ) = C ⋅ F t ( η , ω i ) R ( r ) F t ( η 1 , ω o )
其中，
r = ∥ x o − x i ∥ r = \left\|\mathbf x_o - \mathbf x_i\right\|
r = ∥ x o − x i ∥
表示入射点和出射点在表面上的距离。
可以看到，这个形式和前面介绍过的多次散射项 非常相似。区别在于，这里不再显式地区分单次散射和多次散射，而是希望通过一个合适的 R ( r ) R(r) R ( r ) 怎样选一个既合理、又足够好算的 R ( r ) R(r) R ( r ) 。
至于公式里的常数 C C C 1 1 1
在继续往下之前，还需要先引入一个新概念：平均自由程 （mean free path）。这个概念在前面的体积渲染文章里我没有专门提到，它的定义是：
ℓ = 1 σ t \ell = \frac{1}{\sigma_t}
ℓ = σ t 1
直观来看，平均自由程描述的是： 光在介质中平均能传播多远，才会发生一次相互作用。
Pixar 给出的 R ( r ) R(r) R ( r )
R ( r ) = A s e − s r / ℓ + e − s r / ( 3 ℓ ) 8 π ℓ r (4) R(r)=As\frac{e^{-sr/\ell}+e^{-sr/(3\ell)}}{8\pi\ell r} \tag{4}
R ( r ) = A s 8 π ℓ r e − sr / ℓ + e − sr / ( 3 ℓ ) ( 4 )
这个形式有一个很实用的优点：它本身是可积的。
回到这个公式本身，里面有几个符号需要先说明一下：
第一种情况叫做 searchlight configuration 。垂直打到表面上的一束窄光 。这时，s s s
s = 1.85 − A + 7 ∣ A − 0.8 ∣ 3 s = 1.85 - A + 7\left|A-0.8\right|^3
s = 1.85 − A + 7 ∣ A − 0.8 ∣ 3
第二种情况叫做 diffuse surface transmission 。粗糙表面的半透明材质 ，比如皮肤、水果这类介质。在这种情况下，s s s
s = 1.9 − A + 3.5 ( A − 0.8 ) 2 s=1.9-A+3.5(A-0.8)^2
s = 1.9 − A + 3.5 ( A − 0.8 ) 2
论文里其实还提到了另一种情况。在那种写法里，会把 ℓ \ell ℓ ℓ d \ell_d ℓ d 表面平均自由程 作为输入参数时，需要用到的一种另外的对应写法。为了避免 Confusion，这部分就略过了。
除了前面那种写法之外，公式（4）还可以改写成另一种完全等价、但更适合给美术调参数的形式：
R ( r ) = A e − r / d + e − r / ( 3 d ) 8 π d r (5) R(r)=A\frac{e^{-r/d}+e^{-r/(3d)}}{8\pi d r} \tag{5}
R ( r ) = A 8 π d r e − r / d + e − r / ( 3 d ) ( 5 )
其中，
d = ℓ s d = \frac{\ell}{s}
d = s ℓ
写成这种形式之后，参数的直觉就清晰多了：A A A d d d
Pixar 的论文还进一步介绍了如何基于这个模型做重要性采样。不过这部分内容我自己目前也还没有形成特别深刻的理解，所以这篇文章就不往下展开了。
那以上就是这篇文章的全部内容了。下一篇大概率会聊到 Disney BRDF 。如果你能一路看到这里，非常感谢阅读。
参考文献
bssrdf 基于物理着色（四）- 次表面散射 - 知乎 PBRT：The BSSRDF A practical model for subsurface light transport Pixar：Approximate Reflectance Profiles for Efficient Subsurface Scattering
